Hamilton, Lagrange, le chaos. Cette Mécanique dans nos mouvements.

Abstract

La compréhension des principes fondamentaux régissant les mouvements observés dans la Nature est un objectif fondamental de la science. Après les travaux pionniers de Newton (1643-1727), la Mécanique a considérablement évolué grâce aux reformulations de Lagrange (1736-1813) et de Hamilton (1805-1865). En invoquant un principe de moindre action, Lagrange a remplacé l'équation de Newton par la recherche d'une fonction unique, l’action, minimisée par les trajectoires physiques. Typiquement, le Lagrangien L est la différence entre les énergies cinétique et potentielle du système. Dans le domaine du contrôle moteur, on a assisté à un changement de paradigme similaire à celui de la mécanique newtonienne à la mécanique lagrangienne. Au lieu de se contenter de décrire le mouvement, les chercheurs du 20e S étudient pourquoi les organismes se meuvent comme ils le font. La réponse peut se trouver dans la minimisation d'une "fonction coût", une représentation mathématique de l'effort, de l'énergie ou d'une autre mesure qu'un système biologique tente d'optimiser.

En construisant l’espace des phases, intégrant tous les degrés de liberté d’un système (positions et vitesses), Hamilton a permis une approche géométrique des mouvements, qui met l’accent non seulement sur la minimisation de l’action, mais également sur la recherche de grandeurs invariantes. Peut-on de plus identifier des invariants contraignant la dynamique des mouvements humains ? Il apparaît que les variables d’action assurent ce rôle dans le cas de mouvements rythmiques et illustrons ce modèle en l’appliquant avec succès au cas du mouvement périodique d’un sujet en gravité modifiée. L’évolution des variables d’action prédite par la théorie des invariants adiabatique reproduit quantitativement les variations du mouvement induites par la pesanteur variable.

Les outils Hamiltoniens sont également à la base de l’étude des systèmes chaotiques, soient des systèmes dont la variabilité possède une structure très complexe et difficilement prévisible. La marche possède bien la variabilité d’un système chaotique, et les invariants prédits par la mécanique de Hamilton sont des grandeurs robustes caractérisant la dynamique d’un individu.

En résumé, cet exposé propose un voyage dans la Mécanique, et une illustration de la pertinence de cette science dans la compréhension du mouvement humain volontaire.